BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar
Belakang
Pada umumnya, belajar matematika
identik dengan menghafalkan rumus-rumus tertentu dengan buku panduan yang
sangat tebal dan banyak. Itulah yang menyebabkan para pelajar merasa bosan untuk
belajar matematika. Seringkali mereka bertanya, "Apa sih manfaat belajar
matematika dalam kehidupan sehari-hari? Apa manfaat Aljabar? Apa manfaat
himpunan?.
Pertanyaan itu mereka lontarkan
karena mereka sudah kesal terhadap pelajaran mereka yang terasa membosankan dan
tidak perlu. Tetapi sebenarnya, matematika sangat berfungsi dalam kehidupan
sehari-hari, baik yang paling mudah sampai yang tersulit sekalipun. Matematika
sebagai media untuk melatih berpikir kritis, inovatif, kreatif, mandiri dan
mampu menyelesaikan masalah sedangkan bahasa sebagai media menyampaikan ide-ide
dan gagasan serta yang ada dalam pikiran manusia. Jelas sekali bahwa Matematika
sangat berperan dalam kehidupan sehari-hari, kita tidak dapat menghindar dari
Matematika, sekalipun kita mengambil jurusan ilmu sosial tetap saja ada
pelajaran Matematika di dalamnya karena mau tidak mau matematika digunakan
dalam aktivitas sehari-hari. Salah satunya penerapan himpunan dalam kehidupan
sehari-hari.
Dalam matematika, himpunan adalah
segala koleksi benda-benda tertentu yang dianggap sebagai satu kesatuan.
Walaupun hal ini merupakan ide yang sederhana, tidak salah jika himpunan
merupakan salah satu konsep penting dan mendasar dalam matematika modern, dan
karenanya, studi mengenai himpunan sangatlah berguna.
Himpunan biasa digunakan dalam
matematika dan dalam kehidupan sehari-hari. Dalam kehidupan sehari-hari kita
jumpai pengertian tersebut seperti dalam Himpunan Mahasiswa Jurusan S1
Manajemen STIE Satya Dharma Singaraja, kumpulan koran bekas, koleksi perangko,
kelompok belajar, gugus depan dalam pramuka dan kata sejenis lainnya. Kata-kata
himpunan, kumpulan, koleksi, kelompok daam kehidupan sehari-hari memiliki arti
yang sama.
Himpunan merupakan salah satu dasar
dari matematika. Konsep dalam matematika dapat dikembalikan pada konsep
himpunan, misalnya garis adalah himpunan titik. Sebetulnya pengertian himpunan
mudah dipahami dan dapat diterima secara intuitif. Mengingat demikian
pentingnya teori himpunan, maka dalam kesempatan ini akan dijabarkan beberapa
konsep mengenai teori himpunan.
B. Rumusan
masalah
1) Jelaskan operasi-operasi pada
himpunan ?
2) Sebutkan hukum- hukum aljabar
himpunan ?
3) Bagaimana prinsip inklusi dan ekskulusi ?
4) Bagaimanakah Argument dan Diagram
Venn itu?
C. Tujuan
1) Untuk mengetahui operasi- operasi
terhadap himpunan ?
2) Untuk mengidentifikasi hukum-hukum
aljabar himpunan ?
3) Untuk mengetahui bagaimana prinsip
inklusi dan eksklusi
4) Untuk mengetahui bagaimanakah
Argument dan Diagram Venn itu?
BAB II
PEMBAHASAN
1. Operasi-
operasi pada himpunan
a. Gabungan
Definisi
Gabungan (union) dari himpunan A dan B adalah himpunan yang setiap
anggotanya merupakan anggota himpunan A
atau himpunan B.
Notasi : A È B = { x | x Î A atau x Î B}
Contoh
:
(i) Jika A
= { 2, 5, 8 } dan B = { 7, 5, 22 },
maka A B = { 2, 5, 7, 8,
22 }
(ii) A = A
b. Irisan
Definisi
Irisan (intersection) dari himpunan A dan B adalah sebuah
himpunan yang setiap elemennya merupakan elemen dari himpunan A dan himpunana B.
Notasi
: A Ç B
= { x | x Î A
dan x Î B
}
Contoh :
(i) Jika A = {2, 4, 6, 8, 10} dan B = {4, 10, 14, 18},
maka A
Ç B = {4, 10}
(ii) Jika A = { 3, 5, 9 } dan B = {
-2, 6 }, maka A B = .
Artinya: A
// B
c. Komplemen
Definisi Komplemen dari suatu
himpunan A terhadap suatu himpunan
semesta U adalah suatu himpunan yang
elemennya merupakan elemen U yang bukan elemen A.
Notasi :
= { x | x Î U,
x Ï A
}
Contoh :
Misalkan U = { 1, 2, 3, ..., 9 },
(i) jika A = {1, 3, 7, 9}, maka
= {2, 4, 6, 8}
(ii) jika A =
maka Ac = {1, 2, 3
,4,5,6,7,8,9}
d. Selisih
Definisi
Selisih dari dua himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang elemennya
merupakan elemen dari A tetapi bukan
elemen dari B. selisih antara A dan
B dapat juga dikatakan sebagai komplemen himpunan B relative terhadap himpunan A.
Notasi : A – B = { x | x Î A dan x Ï B } = A Ç
Contoh
:
i. Jika A = { 1, 2, 3, ..., 10 } dan B
= { 2, 4, 6, 8, 10 }, maka A– B = { 1, 3, 5, 7, 9 } dan B – A
=
ii. {1, 3, 5} – {1, 2, 3} = {5},
tetapi {1, 2, 3} – {1, 3, 5} = {2}
e. Beda
Setangkup
Definisi Beda
Setangkup dari himpunan A dan B adalah suatu
himpunan yang elemennya ada pada himpunan A
dan B, tetapi tidak pada keduanya.
|
Notasi: A Å B = (A È B) – (A Ç B) = (A – B) È (B – A)
|
Contoh :
Jika A = { 2, 4, 6 } dan B = {
2, 3, 5 }, maka A B = { 3, 4, 5, 6 }
Contoh : Misalkan
U = himpunan mahasiswa
P
= himpunan mahasiswa yang nilai ujian UTS di atas 80
Q = himpunan
mahasiswa yang nilain ujian UAS di atas 80
Seorang mahasiswa mendapat nilai A jika nilai
UTS dan nilai UAS keduanya di atas 80, mendapat nilai B jika salah satu ujian
di atas 80, dan mendapat nilai C jika kedua ujian di bawah 80.
Ø “Semua
mahasiswa yang mendapat nilai A” : P Ç
Q
Ø “Semua mahasiswa yang mendapat nilai B” : P Å Q
Ø “Semua
mahasiswa yang mendapat nilai C” : U
– (P È Q)
f.
Perkalian kartesius
Definisi
Perkalian kartesius dari himpunan A dan B
adalah himpunan yang elemennya sama pasangan berurutan (ordered pairs) yang dibentuk dari
komponen pertama dari himpunan kedua dari himpunan B.
Notasi: A
´ B = {(a, b)
½ a Î A dan b Î B }
Contoh :
Ø Misalkan C ={ 1, 2, 3 },dan D ={ a, b }, maka
C ´ D = { (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) }
C ´ D = { (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) }
Ø Misalkan A = B
= himpunan semua bilangan riil, maka
A ´ B = himpunan semua titik di bidang datar.
A ´ B = himpunan semua titik di bidang datar.
Catatan:
1. Jika A dan B merupakan
himpunan berhingga, maka: ½A ´ B½ = ½A½ . ½B½.
2. Pasangan berurutan (a, b)
berbeda dengan (b, a), dengan kata lain (a, b)
¹ (b, a).
3. Perkalian kartesian tidak
komutatif, yaitu A ´ B ¹ B ´ A dengan syarat A atau B tidak kosong.
Pada Contoh di atas, D
´ C = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3) } ¹ C ´ D.
1. Jika A
= Æ atau B = Æ, maka A ´ B = B ´ A = Æ
Contoh : Misalkan
A = himpunan makanan = { s = soto, g = gado-gado, n = nasi goreng, m = mie rebus }
B = himpunan minuman = { c = coca-cola, t = teh, d = es dawet }
Berapa
banyak kombinasi makanan dan minuman yang dapat disusun dari kedua himpunan di
atas.
Jawab:
½A ´
B½ = ½A½×½B½
= 4 ×
3 = 12 kombinasi dan minuman, yaitu {(s,
c), (s, t), (s, d),
(g, c), (g, t), (g,
d), (n, c), (n, t),
(n, d), (m, c), (m,
t), (m, d)}. Contoh :
Daftarkan semua anggota himpunan berikut:
(a).
P(Æ) (b). Æ ´
P(Æ) (c).
{Æ}´
P(Æ) (d). P(P({3}))
Penyelesaian:
(a) P(Æ)
= {Æ}
(b) Æ
´
P(Æ)
= Æ (ket: jika A = Æ atau B = Æ maka A ´
B = Æ)
(c) {Æ}´
P(Æ)
= {Æ}´
{Æ}
= {(Æ,Æ))
(d) P(P({3}))
= P({ Æ, {3} }) = {Æ, {Æ},
{{3}}, {Æ,
{3}} }
2. HUKUM
ALJABAR HIMPUNAN
Hukum-hukum pada himpunan dinamakan Hukum –hukum
aljabar himpunan. cukup banyak hukum
yang terdapat pada aljabar himpunan , tetapi disini hanya dijabarkan 11 saja. Beberapa hukum tersebut mirip dengan
hukum aljabar pada sistem bilangan riil seperti a (b+c) = ab + ac , yaitu hukum distributif.
|
1. Hukum identitas:
A = A
A U
= A
|
2. Hukum null/dominasi:
A =
A U
= U
|
|
3. Hukum komplemen:
A
= U
A
=
|
4. Hukum idempoten:
A A
= A
A A
= A
|
|
5. Hukum involusi:
= A
|
6. Hukum penyerapan (absorpsi):
A (A
B)
= A
A (A
B)
= A
|
|
7. Hukum komutatif:
A B
= B A
A B
= B A
|
8. Hukum asosiatif:
A (B
C)
= (A B)
C
A (B
C)
= (A B)
C
|
|
9. Hukum distributif:
A (B
C)
= (A B)
(A
C)
A (B
C)
= (A B)
(A
C)
|
10. Hukum De Morgan:
=
=
|
|
11.
Hukum
0/1
= U
= Æ
|
|
Terlihat
bahwa hukum- hukum yang berlaku pada himpunan merupakan analogi hukum –hukum
logika , dengan operator
menggantikan L (dan) , sedangkan
operator
menggantikan V ( atau ).
3. Prinsip
inklusi dan eksklusi
Beberapa
banyak anggota di dalam gabungan dua himpunan A dan B. penggabungan dua buah
himpunan menghasilkan himpunan baru yang elemen-elemennya berasal dari himpunan
A dan himpunan B. himpunan A dan himpunan B mungkin saja memiliki elemen yang
sama. Banyaknya elemen bersama antara A dan B adalah |A
|
. setiap unsure yang sama itu telah dihitung dua kali , sekali pada |A| dan
sekali pada |B|, meskipun ia seharusnya dianggap sebagai satu buah elemen di
dalam |A
|
. karena itu , jumlah elemen hasil
penggabungan seharusnya adalah jumlah elemen di masing-masing himpunan
dikurangi jumlah elemen di dalam irisannya, atau
|A| + B | - |A
|
Prinsip ini dikenal
dengan nama prinsip inklusi –eksklusi . sejumlah lemma dan teorema yang
berkaitan dengan prinsip ini dituliskan sebagai berikut:
v Lemma
2.1. misalkan A dan B adalah himpunan berhingga yang saling lepas (disjoint) ,
maka
|A| + B |
v Teorema
2.3 misalkan A dan B adalah himpunan berhingga maka
berhingga dan
|A| + B | - |A
|
v Dengan
cara yang sama , kita dapat menghitung jumlah elemen hasil operasi beda
setangkup
|A| + B | - 2 |A
|.
Ø Contoh
:
Berapa banyaknya
bilangan bulat antara 1 dan 100 yang habis dibagi 3 atau 5
Penyelelsaian :
Misalkan : A = himpunan
bilangan bulat yang habis dibagi 3
B = himpunan bilangan
bulat yang habis dibagi 5
A
himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 3
dan 5 (yaitu himpunan bilangan bulat yang habis dibagi oleh KPK dari 3 dan 5
yaitu 15 ).
Ø Yang
ditanyakan adalah
Terlebih dahulu kita harus
menghitung
|A| = [100/3] = 33
| B | = [100/5]= 20 |A
|
= [100/15] = 6
Untuk
mendapatkan
|A| + B | - |A
|
= 33 + 20 – 6 = 47
·
Jadi ada 47 buah bilangan yang habis
dibagi 3 atau 5 .
Prinsip inklusi- eksklusi dapat
dirampatkan untuk operasi lebih dari dua buah himpunan. untuk tiga buah
himpunan A, B, dan C berlaku teorema berikut:
v Teorema
2.4 Misalkan A , B , dan C adalah himpunan yang berhingga maka
berhingga dan
v Sedangkan
untuk empat buah himpunan maka
|A ∪ B ∪ C ∪ D| = |A| + |B| + |C| + |D| – |A ∩ B| – |A ∩ C| – |A ∩ D| – |B ∩ C| – |B ∩
D| – |C ∩ D| + |A ∩ B ∩ C| + |A ∩ B ∩ D|
+ |A ∩ C ∩ D| + |B ∩ C ∩ D |– |A ∩ B ∩ C ∩ D|
v Contoh
:
Sebanyak
1232 orang mahasiswa mengambil kuliah bahasa inggris , 879 orang mengambil
kuliah bahasa perancis , dan 114 mengambil kuliah bahasa jerman. Sebanyak 103
orang mengambil kuliah bahasa inggris dan perancis, 23 orang mengambil kuliah
bahasa inggris dan jerman , dan 14 orang mengambil kuliah bahasa perancis dan
bahasa jerman. Jika 2092 orang mengambil paling sedikit satu buah kuliah bahsa
inggris, bahasa jerman ., dan perancis, berapa banyak mahasiswa yang mengambil
kuliah ketiga buah bahasa tersebut?
Penyelesaian :
Misalkan :
I
= himpunan
mahasiswa yang mengambil kuliah bahasa inggris.
P
=himpunan
mahasiswa yang mengambil kuliah bahasa perancis.
J = himpunan mahasiswa yang mengambil kuliah
bahasa jerman.
Maka ,
|I | = 1232 |P | = 879 |J| = 114 | I P | = 103
| I
J
| = 23 | P
J | = 14 dan |I ∪ P
∪ J| =
2092
Penyulihan
nilai- nilai diatas pada persamaan
|I ∪ P
∪ J| =
|I | + |P |
+ |J| - | I P | -
| I
J
| -
| P J | + |I P J|
2092 =
1232 + 879 + 114 - 103 - 23 -14
+ |I P J|
Sehingga |I
P J| = 7
Jadi ada
7 orang mahasiswa yang mengambil ketiga buah kuliah bahasa inggris ,
perancis dan jerman
4. Pembuktian
proposisi himpunan,
Proposisi
himpunan adalah pernyataan yang menggunakan notasi himpunan. Pernyataan dapat
berupa kesamaan (set identity), misalnya A
(B C) = (A B) (A C) adalah kesamaan himpunan atau dapat berupa
implikasi seperti “ jika A
B =
dan
(B C), maka selalu berlaku bahwa A
Terdapat
beberapa metode untuk membuktikan kebenaran proposisi himpunan. Untuk suatu
proposisi himpunan . untuk suatu proposisi himpunan kita dapat membuktikannya
dengan beberapa metode yang menghasilkan kesimpulan yang sama. Di bawah ini
dikemukakan beberapa metode pembuktian proposisi perihal himpunan.
1. Dengan
diagram venn
Buatlah diagram venn untuk bagian ruas kiri kesamaan dan diagram
venn untuk ruas kanan kesamaan. Jika diagram venn keduanya sama beraarti
kesamaan tersebut benar. Kelebihan metode ini yaitu pembuktian dapat dilakukan
dengan cepat sedangkan kekurangannya hanya dapat digunakan jika himpunan yang
digambarkan tidak banyak jumlahnya. Metode ini lebih mengilustrasikan
dibandingkan membuktikan fakta. Dan banyak matematikawan tidak menganggap sebagai
pembuktian valid untuk pembuktian secara formal. Oleh karena itu pembuktian
dengan diagram venn kurang dapat diterima.
2. Pembuktian
dengan tabel keanggotaan
Kesamaan himpunan dapat dibuktikan dengan menggunakan tabel
keanggotaan. Kita menggunakan angka 1 untuk menyatakan bahwa suatu elemen
adalah anggota himpunan , dan 0 untuk menyatakan bukan himpunan. (nilai ini
dapat dianalogikan dengan true dan false).
Contoh
: Misalkan A, B, dan C adalah himpunan. buktikan bahwa A (B C) = (A B) (A C) tabel
keanggotaan untuk kesamaan tersebut adalah seperti dibawah ini. Karena kolom A (B C) dan kolom (A B) (A C) sama , maka
kesamaan tersebut benar.
|
A
|
B
|
C
|
BC
|
A
(BC)
|
AB
|
AC
|
(AB)
(AC)
|
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
|
0
|
0
|
1
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
|
0
|
1
|
0
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
|
0
|
1
|
1
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
|
1
|
0
|
1
|
1
|
1
|
0
|
1
|
1
|
|
1
|
1
|
0
|
1
|
1
|
1
|
0
|
1
|
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
3. Pembuktian
dengan aljabar himpunan
Aljabar himpunan
mengacu pada hukum- hukum aljabar himpunan , termasuk di dalamnya
teorema-teorema ( yang ada buktinya ), definisi suatu operasi himpunan dan
penerapan prinsip dualitas.
Contoh :
Misalkan A dan B himpunan
. buktikan bahwa A
(B
-
A) = A
Penyelesaian :
A
(B
-
A) = A
(B
Ac)
definisi operasi selisih
= (A
B)
(A
Ac) hukum distributif
= (A
B)
hukum komplemen
= A
B hukum
identitas
4. Pembuktian
dengan menggunakan definisi
Metode
ini digunakan untuk membuktikan proposisi himpunan yang tidak berbentuk
kesamaan , tetapi proposisi yang berbentuk implikasi. Biasanya di dalam
implikasi tersebut terdapat notasi himpunan bagian (
).
Langkah-langkah
untuk membuktikan bahwa X
Y adalah sebagai berikut:
1. Ambil
sembarang x
X
2. Dengan
langkah-langkah yang benar tunjukkan bahwa x
Y
Oleh karena itu x diambil sembarang dalam
X , maka berarti bahwa setiap anggota X merupakan anggota Y atau X
Y.
Pembuktian
yang melibatkan kesamaan himpunan (X = Y) haruslah melalui 2 arah sesuai dengan definisinya , yaitu X
Y dan Y
X.
5. Pembuktian
dengan menggunakan sifat keanggotaan.
Contoh
:
Bagaimana
membuktikan A∪(B∩C)
= (A∪B)∩(A∪C)?
x ∈A ∪ (B ∩ C)
⇔x ∈ A ∨ x ∈ (B ∩ C)
⇔x ∈ A ∨ (x ∈ B ∧ x ∈ C)
⇔(x ∈ A ∨ x ∈ B) ∧ (x ∈ A ∨ x ∈ C)
(hukum distributif untuk logika
matematika)
⇔x ∈ (A ∪ B) ∧ x ∈ (A ∪ C)
⇔x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
5. Argument
dan diagram venn
Banyak statemen verbal dapat dialihkan
menjadi statemen himpunan. Statemen ini dapat digambarkan dengan diagram Venn.
Oleh karena itu, diagram Venn acap kali digunakan untuk menganalisa
validitasnya suatu argumen.
Contoh
:
Pandang
asumsi SI, S2, S3 berikut :
S1 : Guru adalah orang yang tenteram hidupnya
S2 : Setiap raja merupakan orang kaya
S3 : Tidak ada orang kaya yang juga tenteram
hidupnya
Kita hendak menggambarkan asumsi di atas
dalam diagram Venn.
Himpunan
guru termuat dalam himpunan orang yang tentram hidupnya (asumsi SI). Himpunan orang
tenteram hidupnya akan saling lepas dengan himpunan orang kaya (asumsi S3).
Himpunan raja termuat seluruhnya di dalam himpunan orang kaya (asumsi S2).
Gambar 1-13
Dari sini dapat kita putuskan bahwa
konklusi "Tidak ada guru yang merupakan orang kaya" adalah valid.
Demikian pula konklusi "Tidak ada seorang pun guru yang juga raja".
Konklusi "Raja tenteram hidupnya" adalah
tidak valid.
Ø Tulis
dalam tabular-form :
(i)
A = {x | x2 = 4}
(ii)
B = {x | x - 4 = 5}
(iii) C = {x |
positif, x negatif}
(iv) D = {x | x huruf pada kata "malam"}
Penyelesaian
:
(i) A ={-2, 2}
(ii) B = {9}
(iii)
C = 0
(iv)
D= {m, a, 1}
Ø Tulis
dalam set-builder form :
(i) A berisi huruf-huruf a, b, c, d, e
(ii) B a {2,4,6,8, . . . }
(iii)
C berisi propinsi-propinsi di Pulau Jawa.
(iv)
D = {5}
Penyelesaian
:
(i) A = {x
| x adalah huruf dalam abjad
sebelum f} = {x I x adalah lima huruf pertama dalam abjad}.
(ii)
B = {x | x adalah bilangan genap
positif}.
(iii)
C = {x | x adalah propinsi, x terletak
di Pulau Jawa}.
(iv)
D = {x | x - 3 = 2} = {x I 3x = 15}.
Ø Dari
himpunan-himpunan berikut, mana yang berhingga ?
(i) Hari di dalam satu minggu.
(h) {1,2,3,...,99,100}.
(iii)
{x I x genap}.
(iv)
orang yang hidup di bumi ini.
Penyelesaian :
(i),
(ii) maupun (iv) adalah
berhingga (meskipun kita sukar menghitung jumlah orang-orang di bumi
ini; tetapi jumlah tersebut berhingga), sedangkan (iii) tidak berhingga.
Ø Yang
mana dari himpunan-himpunan ini, merupakan himpunan yang sama ?
(i)
{x | x adalah huruf di dalam kata
"tempat"}.
(ii) Himpunan
dari huruf-huruf di dalam kata "empat".
(iii) {x
| x adalah huruf di dalam kata
"tempa"}.
(iv) Himpunan
dari huruf-huruf t, e, m, p dan a.
Penyelesaian
:
Kalau himpunan-himpunan di atas kita
tulis dalam tabular-form jelas terlihat bahwa ke-4 himpunan di atas sama yaitu
(a, e, m, p, t).
Ø Yang
mana dari himpunan-himpunan ini, merupakan himpunan hampa ?
i.
A = {x |
x adalah huruf sebelum a di dalam abjad}.
ii.
B
= (x | x = 9 dan 2x = 4}
iii.
= {x
| x * x}.
iv.
D= {x
| x + 8 = 8}.
Penyelesaian
:
(i)
Karena a adalah huruf pertama di dalam
abjad maka himpunan A tidak mempunyai elemen, jadi A = 0.
(ii)
Tidak ada bilangan yang memenuhi kedua
persamaan x = 9 dan 2x = 4. jadi B = 0.
(iii)
Setiap objek adalah bukan dirinya
sendiri. Jadi C adalah hampa.
(iv)
Bilangan 0 (nol) memenuhi persamaan x +
8 = 8. Jadi D tidak hampa. D={0}.
Ø Bagaimanakah
cara kita untuk menunjukkan bahwa himpunan A bukan himpunan bagian dari suatu
himpunan B ?
Buktikan
bahwa A = {2,3,4,5} bukan himpunan bagian dari B = {x Ix
ganjil}.
Penyelesaian :
Kita perlu menunjukkan bahwa paling
sedikitnya satu elemen dari A tidak
termasuk B. Karena 2 € A tetapi 2 B maka A B.
Ø Misalkan
V = {d}, W = {c,d}, X = {a,b,c}, Y = {a,b} dan Z = {a,b,d}. Apakah
pernyataan-pernyataan di bawah ini benar ?
(i) Y
X
(ii) W
Z
(iii) W
V
(iv) Z
V
(v) V
Y
(vi) V
X
(vii) V
X
(viii) Y
Z
(ix) X = W
(x) W
Y
Penyelesaian
:
(i) Karena setiap elemen dari Y adalah elemen
dari X maka Y
X adalah benar.
(ii) Benar.
(i)
Karena setiap elemen dari V (dalam hal
ini hanya satu yaitu d) adalah elemen dari W maka W
V, maka pernyataan salah.
(ii)
d
V juga
Z jadi Z
V, benar.
(iii)
d
V tetapi
Y, jadi V
Y, benar.
(iv)
d
V
tetapi
X, jadi V
X, maka
pernyataan salah.
(v)
a
Y dan a
Z, b
Z, maka Y
G, jadi pernyataan salah.
(vi)
Salah
(vii)
c
W tetapi c
Y, jadi W
Y, maka pernyataan salah.
Penyelesaian :
(i)
Maksudnya suatu himpunan yang elemennya
suatu himpunan pula, yang elemennya adalah 2 serta 3.
(ii)
A
adalah suatu himpunan yang elemennya 3, himpunan {4,5} serta 4. Jadi: (a) {4,5}
c A adalah salah, karena {4,5} adalah elemen A. Sedangkan (b), (c), (d) dan (f)
benar, (e) salah.
Ø Diketahui
himpunan semesta U = {a,b,c d,e}, A = {a,b d}, B = {b,d,e}.
Tentukan:
(i) A
B, (ii) B
A,
(iii) B', (iv) B - A, (v) A'
B, (vi) A U B', (vii) A'
B', (viii) (A
B)', (ix) B' - A', (x) (A
B).
Penyelesaian
:
(i)
A
B=
{a,b,d,e}.
(ii)
B
A
= {b,d}.
(iii)
B' = (U - B = {a,c}.
(iv)
B
- A={e}.
(v)
A'
= U - A = {c,e}.
Jadi A'
B = {e}.
(vi)
A
B'
= {a,b,c,d}.
(vii)
A'
B' = {c}.
(viii)
(A
B)'
= U - (A
B) = {a,c,e}.
(ix)
B' - A' = {a}.
(x)
(A
By = U - (A U B) = {c}.
BAB III
PENUTUP
1. Kesimpulan
Ada
beberapa hal yang bisa disimpulkan dalam pembuatan makalah ini, diantaranya
yaitu:
a. Himpunan adalah
kumpulan benda atau objek-objek atau lambang-lambang yang mempunyai arti yang
dapat didefinisikan dengan jelas mana yang merupakan anggota himpunan dan mana
bukan anggota himpunan.
b. Suatu himpunan biasanya diberi nama atau dilambangkan
dengan huruf besar (kapital) A, B, C, ..., Z. Adapun benda atau objek yang
termasuk dalam himpunan tersebut ditulis dengan menggunakan pasangan kurung
kurawal {...}.
c. Himpunan semesta atau semesta pembicaraan adalah himpunan yang memuat semua
anggota atau objek himpunan yang dibicarakan. Himpunan semesta biasanya
dilambangkan dengan S.
d. Dengan
mempelajari Himpunan, diharapkan kemampuan logika akan semakin terasah dan
memacu kita agar kita mampu berpikir secara logis.
2. Saran
Tanpa
kita sadari ternyata begitu banyak manfaat dari aplikasi matematika untuk
kehidupan sehari-hari. Baik dalam bidang ekonomi, pendidikan, dan dalam
berbagai disiplin ilmu yang lainya. Oleh karena itu penulis menyarankan agar
kita lebih serius dalam mempelajari matematika dan jangan dijadikan matematika
sebagai sesuatu yang menyeramkan untuk dipelajari karena matematika adalah bagian
sangat dekat yang tak terpisahkan dari kehidupan kita.
DAFTAR
PUSTAKA
Anderson,
Robert B., Proving Programs Correct, John
Wiley & Sons, 1979.
Azmoodeh, Manoochehr, Abstract Dua Types and Algorithms, Macmillan
Education, 1988.
Brassad, Gilles & Paul Bratley, Algorithmics, Theory and Practice, Prentice
Hall, 1988
Johnsonbaugh,
Richard, Discrete Mathematics,
,
Pentice Hall, 1997
Lipschuts,S; Silaban,
P. 1985. Teori Himpunan. Jakarta: Erlangga.
Rosen, Kenneth H., Discrete Mathematics ang Its Applications, , McGraw-Hall
Internatiol 1994
http://id.wikipedia.org/wiki/Himpunan_(matematika)
Tag :
MAKALAH MATEMATIKA
0 Komentar untuk "Contoh Makalah Matematika Tentang Operasi-operasi Himpunan"