BAB I
PENDAHULUAN
A.
Latar
Belakang
Pada umumnya, belajar matematika identik
dengan menghafalkan rumus-rumus tertentu dengan buku panduan yang sangat tebal
dan banyak. Itulah yang menyebabkan para pelajar merasa bosan untuk belajar
matematika.
Matematika sebagai media untuk melatih
berpikir kritis, inovatif, kreatif, mandiri dan mampu menyelesaikan masalah
sedangkan bahasa sebagai media menyampaikan ide-ide dan gagasan serta yang ada
dalam pikiran manusia. Jelas sekali bahwa Matematika sangat berperan dalam
kehidupan sehari-hari, kita tidak dapat menghindar dari Matematika, sekalipun
kita mengambil jurusan ilmu sosial tetap saja ada pelajaran Matematika di
dalamnya karena mau tidak mau matematika digunakan dalam aktivitas sehari-hari.
“Himpunan”. Satu kata penuh
pertanyaan. Beberapa orang belum mengetahui apa arti sebenarnya dari himpunan
sehingga kadang-kadang orang itu salah mengartikannya. Sebenarnya kata himpunan
itu erat kaitannya dengan pengelompokkan . Beberapa orang yang telah mengetahui
kaitan himpunan dengan pengelompokkan ini akhirnya bisa menyimpulkan sendiri
meskipun belum biasa mendeksripsikannya secara jelas.
Seringkali masalah ini akhirnya berhubungan dengan masalah sampah juga.
Ketika suatu tempat sampah tertulis “Sampah basah”, beberapa orang masih saja
salah membuang sampah di tempat yang tidak sesuai dengan labelnya. Mereka tidak
mempedulikan arti dari himpunan “Sampah basah” itu. Mereka belum mengerti
secara jelas karena mereka belum menguasai konsep dasarnya, yaitu himpunan.
Kita harus melakukan 3M ,Mulai dari diri sendiri, Mulai dari kecil/dini, dan
Mulai dari sekarang.
Beranjak dari hal itu , untuk meningkatkan kesadaran kita sebagai
mahasiswa Kesehatan Masyarakay, kita harus memperhatikan pemilahan atau
pengelompokkan sampah yang baik dan benar sehingga di masa yang akan datang
kita bisa menerapkannya juga kepada orang lain atau bisa bermanfaat bagi semua orang. Mengingat akan penting dan
manfaatnya himpunan dala kehidupan sehari-hari terutama dalam dunia kesehatan maka
penulis bermaksut menulis makalah tentang “Himpunan”.
B.
Rumusan Masalah
1. Menjelaskan tetang pengertian
Himpunan?
2. Menyebutkan jenis-jenis himpunan?
3. Menjelaskan cara penulisan himpunan?
4. Menjelaskan operasi dan hokum
aljabar pada himpunan?
5. Mejabarkan manfaat mempelajari
himpunan dalam kehidupan sehari-hari?
6. Menjabarkan penerapan himpunan?
C.
Tujuan Penulisan
Penulisan makalah ini bertujuan untuk mengetahui dan menjelaskan tentang
Himpunan dan manfaatnya dalam kehidupan sehari-hari.
BAB
II
PEMBAHASAN
A.
Pengertian Himpunan
Konsep himpunan mendasari
hampir semua cabang matematika. Gerorg
Cantor dianggap sebagai Bapak teori himpunan. Himpunan adalah kumpulan
benda atau objek-objek atau lambang-lambang yang mempunyai arti yang dapat
didefinisikan dengan jelas mana yang merupakan anggota himpunan dan mana bukan
anggota himpunan. Istilah didefinisikan dengan jelas
dimaksukkan agar orang dapat menentukan apakah suatu benda merupakan anggota
himpunan yang dimaksud tadi atau tidak.
Perhatikan objek yang
berada di sekeliling kita, misal ada sekelompok mahasiswa yang sedang belajar
di kelas A, setumpuk buku yang berada di atas meja belajar, sehimpunan kursi di
dalam kelas A, sekawanan itik berbaris menuju sawah, sederetan mobil yang antri
karena macet dan sebagainya, semuanya merupakan contoh himpunan dalam kehidupan
sehari-hari.
Jika kita amati semua objek yang berada
disekeliling kita yang dijadikan contoh di atas, dapat didefinisikan dengan
jelas dan dapat dibedakan mana anggota himpunan tersebut dan mana yang
bukan.Himpunan makanan yang lezat, himpunan gadis yang cantik dan himpunan
bunga yang indah adalah contoh himpunan yang tidak dapat didefinisikan dengan
jelas. Lezatnya makanan, cantiknya gadis dan indahnya bunga bagi setiap orang
relatif. Lezatnya suatu hidangan bagi seseorang atau sekelompok orang belum tentu lezat bagi orang lain atau sekelompok
orang lainya.
Demikian juga indahnya sekuntum bunga
bagi seseorang belum tentu indah bagi orang lain. Bagi A yang indah adalah
mawar merah bagi B yang indah adalah melati. Jadi relatif bagi setiap orang.
Benda atau objek yang termasuk dalam himpunan disebut anggota atau elemen atau
unsur himpunan tersebut. Umumnya penulisan himpunan menggunakan huruf kapital
A, B, C dan seterusnya, dan anggota himpunan ditulis dengan huruf kecil.
B.
Jenis-Jenis Himpunan
1. Himpunan
Bagian (Subset).
Himpunan A dikatakan himpunan
bagian (subset) dari himpunan B ditulis A ⊂ B ”,
jika setiap anggota A merupakan
anggota dari B.
Syarat :
A ⊂ B, dibaca : A
himpunan bagian dari B
A ⊂ B,
dibaca : A bukan himpunan bagian dari B
B ⊂ A
dibaca : B bukan himpunan bagian dari A
B ⊂ A
dibaca : B bukan himpunan bagian dari A
Contoh :
Misal A =
{ 1,2,3,4,5 } dan B =
{ 2,4} maka B ⊂ A
Sebab setiap
elemen dalam B merupakan
elemen dalam A,
tetapi tidak sebaliknya.
Penjelasan : Dari
definisi diatas himpunan bagian harus mempunyai unsur himpunan A juga merupakan
unsur himpunan B.artinya kedua himpunan itu harus saling berkaitan.
2. Himpunan
Kosong (Nullset)
Himpunan kosong adalah
himpunan yang tidak mempunyai unsur anggota yang sama sama sekali.
Syarat :
Himpunan kosong = A
atau { } Himpunan kosong adalah tunggal
Himpunan kosong merupakan
himpunan bagian dari setiap himpunan
Perhatikan : himpunan kosong tidak
boleh di nyatakan dengan { 0 }.
Sebab
: { 0 } ≠ { }
Penjelasan : dari definisi diatas himpunan kosong
adalah himpunan yang tidak mempunyai satupun anggota, dan biasanya himpunan
kosong dinotasikan dengan huruf yunani ø (phi).
3.
Himpunan
Semesta
Himpunan semesta biasanya
dilambangkan dengan “U” atau “S” (Universum) yang berarti himpunan yang memuat
semua anggota yang dibicarakan atau kata lainya himpunan dari objek yang sedang
dibicarakan.
4. Himpunan Sama (Equal)
Bila setiap anggota himpunan A juga
merupakan anggota himpunan B, begitu pula sebaliknya.di
notasikan dengan A=B
Syarat : Dua buah himpunan anggotanya harus sama.
Contoh :
A
={ c,d,e} B={ c,d,e } Maka A = B
Penjelasan : Himpunan equal atau himpunan
sama,memiliki dua buah himpunan yang anggotanya sama misalkan anggota himpunan
A {c,d,e} maka himpunan B pun akan memiliki anggota yaitu { c,d,e }.
5.
Himpunan
Lepas
Himpunan lepas adalah suatu himpunan
yang anggota-anggotanya tidak ada yang sama.
Contoh
C = {1, 3, 5, 7} dan D = {2, 4, 6} Maka himpunan
C dan himpunan D saling lepas.
Catatan : Dua himpunan yang tidak kosong
dikatakan saling lepas jika kedua himpunan itu tidak mempunyai satu pun anggota
yang sama
6. Himpunan Komplemen (Complement
set)
Himpunan komplemen dapat di nyatakan
dengan notasi AC . Himpunan komplemen jika di misalkan S
= {1,2,3,4,5,6,7} dan A = {3,4,5} maka A ⊂ U. Himpunan {1,2,6,7} juga
merupakan komplemen, jadi AC = {1,2,6,7}. Dengan
notasi pembentuk himpunan ditulis :
AC = {x│x Є U, x Є A}
7. Himpunan Ekuivalen (Equal Set)
Himpunan ekuivalen adalah himpunan
yang anggotanya sama banyak dengan himpunan lain.
Syarat : Bilangan cardinal dinyatakan dengan
notasi n (A) A≈B, dikatakan sederajat atau ekivalen, jika himpunan A ekivalen
dengan himpunan B,
Contoh :
A
= { w,x,y,z }→n (A) = 4
B
= { r,s,t,u } →n (B) = 4
Maka
n (A) =n (B) →A≈B
Penjelasan : himpunan ekivalen mempunyai bilangan
cardinal dari himpunan tersebut, bila himpunan A beranggotakan 4 karakter
maka himpunan B pun beranggotakan 4.
C.
Cara Penulisan Himpunan
Ada
empat cara untuk menyatakan suatu himpunan
1. Dengan menyebutkan semua anggotanya
(roster) yang diletakkan di dalam sepasang tanda kurung kurawal, dan di antara
setiap anggotanya dipisahkan dengan tanda koma. Cara ini disebut juga
cara Tabulasi.
Contoh: A = {a, i, u, e, o}
B
= {Senin, Selasa, Rabu, Kamis, Jumat, Sabtu, Minggu}
2. menyebutkan syarat
anggota-anggotanya, cara ini disebut juga cara Deskripsi.
Contoh: ambil
bilangan asli kurang dari 5
A = bilangan
asli kurang dari 5
3.
Notasi
Pembentuk Himpunan : dengan menuliskan ciri-ciri umum atau sifat-sifat
umum (role) dari anggotanya.
Contoh Soal :
Nyatakan dengan notasi himpunan
dengan menuliskan tiap-tiap anggotanya dan sifat-sifatnya himpunan berikut ini
:
A
adalah himpunan bilangan asli antara 1 dan 6
Penyelesaian
:
A
adalah himpunan bilangan asli antara 1 dan 6
Dengan
menulis tiap-tiap anggotanya A = {2, 3, 4, 5}
Dengan
menulis sifat-sifatnya A = {x | 1 < x < Asli}ÃŽ6, x
4.
Himpunan
juga dapat di sajikan secara grafis (Diagram
Venn)
Penyajian himpunan dengan diagram
Venn ditemukan oleh seorang ahli matematika Inggris bernama John Venn tahun
1881. Himpunan semesta digambarkan dengan segiempat dan himpunan lainnya dengan
lingkaran di dalam segiempat tersebut.
D.
Operasi Pada Himpunan
1. Gabungan
Gabungan (union) dari
himpunan A dan B adalah himpunan yang setiap anggotanya merupakan anggota
himpunan A atau himpunan B. Dinotasikan A B Notasi : A
B = {x | x Є A atau x Є B}
2. Irisan
Irisan (intersection) dari
himpunan A dan B adalah himpunan yang setiap anggotanya merupakan anggota
dari himpunan A dan anggota himpunan B.
Notasi : A B = {x | x
Є A dan x Є B}
3. Komplemen
Komplemen himpunan A terhadap
himpunan semesta S adalah himpunan yang anggotanya merupakan anggota S
yang bukan anggota A. Dinotasikan Ac
Notasi : Ac = {x |
x Є S dan x Є A} atau
4. Selisih
Selisih himpunan A dan B adalah
himpunan yang anggotanya merupakan anggota himpunan A dan bukan anggota
himpunan B. Selisih himpunan A dan B adalah komplemen himpunan B terhadap
himpunan A. Dinotasikan A-B
Notasi : A – B = {x |
x Є A dan x Є B}
5. Hasil Kali Kartesius ( cartesion
Product )
Hasil kali kartesius himpunan A dan
B, dinotasikan A x B, adalah himpunan yang anggotanya semua pasangan terurut
(a,b) dimana a anggota A dan b anggota B
Secara matematis dituliskan : A x B
= {(a,b)| a Є A dan b Є B}
E.
Hukum Aljabar Himpunan
Hukum-hukum pada himpunan dinamakan Hukum –hukum aljabar himpunan. cukup
banyak hukum yang terdapat pada aljabar himpunan , tetapi disini hanya
dijabarkan 11 saja. Beberapa hukum tersebut mirip dengan hukum aljabar
pada sistem bilangan riil seperti a (b+c) = ab + ac , yaitu hukum
distributif.
|
1. Hukum identitas:
A = A
A U = A
|
2. Hukum null/dominasi:
A =
A U = U
|
|
3. Hukum komplemen:
A = U
A =
|
4. Hukum idempoten:
A A = A
A A = A
|
|
5. Hukum involusi:
= A
|
6. Hukum penyerapan
(absorpsi):
A (A B) = A
A (A B) = A
|
|
7. Hukum komutatif:
A B = B A
A B = B A
|
8. Hukum asosiatif:
A (B C) = (A
B) C
A (B C) = (A
B) C
|
|
9. Hukum distributif:
A (B C) = (A
B) (A C)
A (B C) = (A
B) (A C)
|
10. Hukum De Morgan:
=
=
|
|
11. Hukum 0/1
= U
= Æ
|
Terlihat bahwa hukum- hukum yang
berlaku pada himpunan merupakan analogi hukum –hukum logika , dengan operator menggantikan
L
(dan) , sedangkan operator menggantikan V ( atau
).
1. Prinsip
inklusi dan eksklusi
Beberapa banyak
anggota di dalam gabungan dua himpunan A dan B. penggabungan dua buah himpunan
menghasilkan himpunan baru yang elemen-elemennya berasal dari himpunan A dan
himpunan B. himpunan A dan himpunan B mungkin saja memiliki elemen yang sama.
Banyaknya elemen bersama antara A dan B adalah |A | . setiap unsure yang sama itu telah dihitung dua
kali , sekali pada |A| dan sekali pada |B|, meskipun ia seharusnya dianggap
sebagai satu buah elemen di dalam |A | . karena itu , jumlah elemen
hasil penggabungan seharusnya adalah jumlah elemen di masing-masing himpunan
dikurangi jumlah elemen di dalam irisannya, atau |A| + B | - |A |
Prinsip ini dikenal dengan nama prinsip
inklusi –eksklusi . sejumlah lemma dan teorema yang berkaitan dengan prinsip
ini dituliskan sebagai berikut:
a) Lemma 2.1. misalkan A dan B adalah
himpunan berhingga yang saling lepas (disjoint) , maka |A| + B |
b) Teorema 2.3 misalkan A dan B adalah
himpunan berhingga maka berhingga dan |A| + B | - |A |
c) Dengan
cara yang sama , kita dapat menghitung jumlah elemen hasil operasi beda
setangkup |A| + B | - 2 |A |.
Contoh :
Berapa
banyaknya bilangan bulat antara 1 dan 100 yang habis dibagi 3 atau 5
Penyelelsaian
:
Misalkan : A =
himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 3
B = himpunan
bilangan bulat yang habis dibagi 5
A himpunan
bilangan bulat yang habis dibagi 3 dan 5 (yaitu himpunan bilangan bulat yang
habis dibagi oleh KPK dari 3 dan 5 yaitu 15 ).
Ø Yang ditanyakan adalah
Terlebih dahulu kita harus menghitung
|A| = [100/3] =
33 | B | = [100/5]=
20 |A | = [100/15] = 6
Untuk
mendapatkan |A| + B | - |A | = 33 + 20 – 6 = 47
Jadi ada 47
buah bilangan yang habis dibagi 3 atau 5 .
Prinsip inklusi- eksklusi dapat
dirampatkan untuk operasi lebih dari dua buah himpunan. untuk tiga buah
himpunan A, B, dan C berlaku teorema berikut:
Teorema 2.4
Misalkan A , B , dan C adalah himpunan yang berhingga maka berhingga
dan
Sedangkan untuk empat buah himpunan maka
|A ∪
B ∪ C ∪ D| = |A| + |B| + |C| + |D| – |A ∩ B| – |A ∩ C| – |A ∩
D| – |B ∩ C| – |B ∩ D| – |C ∩
D| + |A ∩ B ∩ C| + |A ∩ B ∩
D| + |A ∩ C ∩ D| + |B ∩
C ∩ D |– |A ∩ B ∩
C ∩ D|
Contoh :
Sebanyak 1232 orang mahasiswa mengambil kuliah bahasa inggris ,
879 orang mengambil kuliah bahasa perancis , dan 114 mengambil kuliah bahasa
jerman. Sebanyak 103 orang mengambil kuliah bahasa inggris dan perancis, 23
orang mengambil kuliah bahasa inggris dan jerman , dan 14 orang mengambil
kuliah bahasa perancis dan bahasa jerman. Jika 2092 orang mengambil paling
sedikit satu buah kuliah bahsa inggris, bahasa jerman ., dan perancis, berapa
banyak mahasiswa yang mengambil kuliah ketiga buah bahasa tersebut?
Penyelesaian
:
Misalkan :
I = himpunan mahasiswa yang mengambil kuliah
bahasa inggris.
P =himpunan mahasiswa yang mengambil kuliah
bahasa perancis.
J = himpunan mahasiswa yang
mengambil kuliah bahasa jerman.
Maka ,
|I | = 1232 |P
| = 879 |J| = 114 | I P
| =
103
| I J | = 23 | P J
| = 14 dan |I ∪ P ∪
J| = 2092
Penyulihan nilai- nilai diatas pada persamaan
|I ∪
P ∪ J| = |I
| + |P | + |J| -
| I P | -
| I J | -
| P J
| + |I P J|
2092 = 1232 + 879 + 114 - 103 - 23 -14 + |I P
J|
Sehingga |I P J| = 7
Jadi ada 7 orang mahasiswa yang mengambil ketiga buah
kuliah bahasa inggris , perancis dan jerman
2. Pembuktian Proporsi Himpunan
Proposisi himpunan adalah pernyataan yang
menggunakan notasi himpunan. Pernyataan dapat berupa kesamaan (set identity),
misalnya A (B C) = (A B)
(A C) adalah kesamaan himpunan atau
dapat berupa implikasi seperti “ jika A B
= dan
(B C), maka
selalu berlaku bahwa A Terdapat beberapa metode untuk membuktikan kebenaran
proposisi himpunan. Untuk suatu proposisi himpunan . untuk suatu proposisi
himpunan kita dapat membuktikannya dengan beberapa metode yang menghasilkan
kesimpulan yang sama. Di bawah ini dikemukakan beberapa metode pembuktian
proposisi perihal himpunan.
a. Dengan
diagram venn
Buatlah
diagram venn untuk bagian ruas kiri kesamaan dan diagram venn untuk ruas kanan
kesamaan. Jika diagram venn keduanya sama beraarti kesamaan tersebut benar.
Kelebihan metode ini yaitu pembuktian dapat dilakukan dengan cepat sedangkan
kekurangannya hanya dapat digunakan jika himpunan yang digambarkan tidak banyak
jumlahnya. Metode ini lebih mengilustrasikan dibandingkan membuktikan fakta.
Dan banyak matematikawan tidak menganggap sebagai pembuktian valid untuk
pembuktian secara formal. Oleh karena itu pembuktian dengan diagram venn kurang
dapat diterima.
b. Pembuktian
dengan tabel keanggotaan
Kesamaan
himpunan dapat dibuktikan dengan menggunakan tabel keanggotaan. Kita
menggunakan angka 1 untuk menyatakan bahwa suatu elemen adalah anggota himpunan
, dan 0 untuk menyatakan bukan himpunan. (nilai ini dapat dianalogikan dengan
true dan false).
Contoh
: Misalkan A, B, dan C adalah himpunan. buktikan bahwa A (B C) = (A B) (A C)
tabel keanggotaan untuk kesamaan tersebut adalah seperti dibawah ini. Karena
kolom A (B C) dan kolom (A B) (A C)
sama maka kesamaan tersebut benar.
|
A
|
B
|
C
|
BC
|
A (BC)
|
AB
|
AC
|
(AB) (AC)
|
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
|
0
|
0
|
1
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
|
0
|
1
|
0
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
|
0
|
1
|
1
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
|
1
|
0
|
1
|
1
|
1
|
0
|
1
|
1
|
|
1
|
1
|
0
|
1
|
1
|
1
|
0
|
1
|
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
c. Pembuktian
dengan aljabar himpunan
Aljabar himpunan mengacu pada hukum-
hukum aljabar himpunan, termasuk di dalamnya teorema-teorema ( yang ada
buktinya ), definisi suatu operasi himpunan dan penerapan prinsip dualitas.
Contoh
:
Misalkan
A dan B himpunan . buktikan bahwa A (B - A) = A Penyelesaian
:
A (B
-
A) = A (B Ac) definisi operasi selisih
= (A B) (A Ac)
hukum distributif
= (A B)
hukum
komplemen
= A B hukum identitas
d. Pembuktian
dengan menggunakan definisi
Metode ini digunakan untuk membuktikan
proposisi himpunan yang tidak berbentuk kesamaan , tetapi proposisi yang
berbentuk implikasi. Biasanya di dalam implikasi tersebut terdapat notasi
himpunan bagian ( ).
Langkah-langkah
untuk membuktikan bahwa X Y adalah sebagai berikut:
·
Ambil sembarang x X
·
Dengan langkah-langkah yang benar
tunjukkan bahwa x Y
Oleh
karena itu x diambil sembarang dalam X , maka berarti bahwa setiap anggota X
merupakan anggota Y atau X Y.
Pembuktian yang melibatkan kesamaan himpunan (X = Y) haruslah melalui 2
arah sesuai dengan definisinya , yaitu X Y
dan Y
X.
e. Pembuktian
dengan menggunakan sifat keanggotaan.
Contoh
:
Bagaimana
membuktikan A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C)?
x ∈A ∪ (B ∩
C)
⇔x ∈ A ∨
x ∈ (B ∩ C)
⇔x ∈ A ∨
(x ∈ B ∧ x ∈
C)
⇔(x ∈ A ∨
x ∈ B) ∧ (x ∈
A ∨ x ∈ C)
(hukum distributif untuk logika matematika)
⇔x ∈ (A ∪
B) ∧ x ∈ (A ∪
C)
⇔x ∈ (A ∪
B) ∩ (A ∪ C)
f.
Argument
dan diagram venn
Banyak statemen verbal dapat dialihkan menjadi statemen himpunan.
Statemen ini dapat digambarkan dengan diagram Venn. Oleh karena itu, diagram
Venn acap kali digunakan untuk menganalisa validitasnya suatu argumen.
Contoh :
Pandang asumsi SI, S2, S3 berikut :
S1 : Guru adalah orang yang
tenteram hidupnya
S2 : Setiap raja merupakan
orang kaya
S3 : Tidak ada orang kaya yang
juga tenteram hidupnya
Kita hendak menggambarkan asumsi di
atas dalam diagram Venn.
Himpunan guru termuat dalam himpunan
orang yang tentram hidupnya (asumsi SI). Himpunan orang tenteram hidupnya akan
saling lepas dengan himpunan orang kaya (asumsi S3). Himpunan raja termuat
seluruhnya di dalam himpunan orang kaya (asumsi S2).
F.
Manfaat Mempelajari Hmpunan dalam
Kehidupan Sehai Hari
Dengan mempelajari himpunan, diharapkan
kemampuan logika akan semakin terasah dan akan memacu kita agar kita mampu
berpikir secara logis, karena dalam hidup, logika memiliki peran penting karena
logika berkaitan dengan akal pikir. Banyak kegunaan logika antara lain:
1. Membantu setiap orang yang
mempelajari logika untuk berpikir secara rasional, kritis, lurus, tetap,
tertib, metodis dan koheren.
2. Meningkatkan kemampuan berpikir
secara abstrak, cermat, dan objektif.
3. Menambah kecerdasan dan meningkatkan
kemampuan berpikir secara tajam dan mandiri.
4. Memaksa dan mendorong orang untuk
berpikir sendiri dengan menggunakan asas-asas sistematis.
5. Meningkatkan cinta akan kebenaran
dan menghindari kesalahan-kesalahan berpikir, kekeliruan serta kesesatan.
6. Mampu melakukan analisis terhadap
suatu kejadian.
G.
Contoh
Penerapan Soal Himpunan Dalam Kehidupan Sehari-Hari
Berikut
ini merupakan beberapa contoh kasus teori himpuanan dalam kehiupan sehari-hari.
Soal:
1. Dalam sebuah kelas terdapat 40 orang
siswa, 24 orang gemar musik 30 orang gemar olah raga dan 16 orang gemar keduanya.
Tentukan banyaknya siswa yang gemar musik saja dan yang gemar olahraga saja?
2. Dari survey 100 orang warga terdapat
60 orang gemar membaca 50 orang gemar menulis, 45 orang gemar melukis, 40 orang
gemar melukis dan menulis, 35 orang gemar membaca dan melukis, 30 orang gemar
ketiganya. Tentukan :
a) Orang yang gemar melukis dan menulis saja
b) Orang yang gemar membaca dan melukis saja
c) Orang yang gemar membaca saja
d) Orang yang gemar menulis saja
e) Orang yang gemar melukis saja
f) Orang yang tidak suka ketiganya
Penyelesaian:
1. Perhatikan dalam soal tersebut
terdapat dua himpunan siswa yaitu siswa yang gemar musik dan siswa
yang gemar olahraga. Siswa yang gemar keduanya sebanyak 16 orang. Dalam konsep
himpunan, anggota yang gemar keduanya merupan anggota irisansehingga
dapat dicari siswa yang gemar musik saja dan siswa yang gemar olahraga saja.
Karena irisan siswa yang gemar keduanya sebanyak 16
orang sehingga siswa yang hanya gemar Musik dan olah raga saja yaitu :
Musik = 24 – 16 = 8
Olahraga = 30 – 16 = 14
Dengan demikian himpunan semestanya :
S = 8 + 14 +16 = 40 siswa.
2. Dari soal nomor 2, terdapat tiga
himpunan yang berbeda yaitu yang gemar membaca, menulis dan melukis. Untuk
menyelesaikan soal tersebut, terlebih dahulu kita cari irisan ketiganya.
Sehingga dapat disimpulkan :
Misal : B = Membaca, N = Menulis, L = Melukis
a)
Orang
yang gemar melukis dan menulis saja: 40 – 30 = 10 orang
b)
Orang
yang gemar membaca dan menulis saja: 35 – 30 = 5 orang
c)
Orang
gemar membaca saja: 60 – 30 – 5 = 25 orang
d)
Orang
yang gemar menulis saja: 50 – 30 – 10 = 10 orang
e)
Orang
yang gemar melukis saja: 45 – 45 = 0, maka orang yang gemar melukis saja
merupakan himpunan kosong
f)
Orang
yang tidak suka ketiganya: 100 – 25 – 30 – 5 – 10 – 10 = 20 oran
BAB III
PENUTUP
A.
Kesimpulan
Ada beberapa hal yang dapat disimpulkan
dalam pembuatan makalah ini, diantaranya adalah:
1. Himpunan adalah kumpulan benda atau objek-objek atau
lambang-lambang yang mempunyai arti yang dapat didefinisikan dengan jelas mana
yang merupakan anggota himpunan dan mana bukan anggota himpunan
2. Jenis-jenis terdiri dari himpunan bagian, himpunan
kosong, himpunan semesta, himpunan sama, himpunan lepas, himpunan komplement,
dan himpunan ekuivalent.
3. Himpunan dapat ditulis dengan menyebutkan semua anggota,
menyebutkan syarat-syarat anggota, notasi pembetuk himpunan, dan secara grafik
4. Operasi pada himpudan terdiri dari gabungan, irisan,
komplement, selisih, dan hasil kali kartesius
5. Pembuktian proporsi himpunan dapat menggunakan diagram
venn, tabel keanggotaan, aljabar himpunan, dan definisi
7. Manfaat mempelajari himpunan adalah membantu setiap orang yang
mempelajari logika untuk berpikir secara rasional, kritis, lurus, tetap,
tertib, metodis dan koheren, meningkatkan kemampuan berpikir secara abstrak,
cermat, dan objektif, menambah kecerdasan dan meningkatkan kemampuan berpikir
secara tajam dan mandiri, memaksa dan mendorong orang untuk berpikir sendiri
dengan menggunakan asas-asas sistematis, meningkatkan cinta akan kebenaran dan
menghindari kesalahan-kesalahan berpikir, kekeliruan serta kesesatan, mampu
melakukan analisis terhadap suatu kejadian.
B. Saran
Tanpa kita sadari ternyata begitu banyak
manfaat dari aplikasi matematika untuk kehidupan sehari-hari. Baik dalam bidang
ekonomi, pendidikan, dan dalam berbagai disiplin ilmu yang lainya. Oleh karena
itu penulis menyarankan agar kita lebih serius dalam mempelajari matematika dan
jangan dijadikan matematika sebagai sesuatu yang menyeramkan untuk dipelajari
karena matematika adalah bagian sangat dekat yang tak terpisahkan dari
kehidupan kita.
Tag :
MAKALAH MATEMATIKA
0 Komentar untuk "Contoh Makalah Matematika Tentang Himpunan"